Слау примеры. Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом

Линейные уравнения с двумя переменными

У школьника имеется 200 рублей, чтобы пообедать в школе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе можно накупить на 200 рублей?

Обозначим количество пирожных через x , а количество чашек кофе через y . Тогда стоимость пирожных будет обозначаться через выражение 25x , а стоимость чашек кофе через 10y .

25x — стоимость x пирожных
10y — стоимость y чашек кофе

Итоговая сумма должна равняться 200 рублей. Тогда получится уравнение с двумя переменными x и y

25x + 10y = 200

Сколько корней имеет данное уравнение?

Всё зависит от аппетита школьника. Если он купит 6 пирожных и 5 чашек кофе, то корнями уравнения будут числа 6 и 5.

Говорят, что пара значений 6 и 5 являются корнями уравнения 25x + 10y = 200 . Записывается как (6; 5) , при этом первое число является значением переменной x , а второе — значением переменной y .

6 и 5 не единственные корни, которые обращают уравнение 25x + 10y = 200 в тождество. При желании на те же 200 рублей школьник может купить 4 пирожных и 10 чашек кофе:

В этом случае корнями уравнения 25x + 10y = 200 является пара значений (4; 10) .

Более того, школьник может вообще не покупать кофе, а купить пирожные на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 8 и 0

Или наоборот, не покупать пирожные, а купить кофе на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25x + 10y = 200 будут значения 0 и 20

Попробуем перечислить все возможные корни уравнения 25x + 10y = 200 . Условимся, что значения x и y принадлежат множеству целых чисел. И пусть эти значения будут бóльшими или равными нулю:

x ∈ Z, y ∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Так будет удобно и самому школьнику. Пирожные удобнее покупать целыми, чем к примеру несколько целых пирожных и половину пирожного. Кофе также удобнее брать целыми чашками, чем к примеру несколько целых чашек и половину чашки.

Заметим, что при нечетном x невозможно достичь равенства ни при каком y . Тогда значениями x будут следующие числа 0, 2, 4, 6, 8. А зная x можно без труда определить y

Таким образом, мы получили следующие пары значений (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эти пары являются решениями или корнями уравнения 25x + 10y = 200 .Они обращают данное уравнение в тождество.

Уравнение вида ax + by = c называют линейным уравнением с двумя переменными . Решением или корнями этого уравнения называют пару значений (x; y ), которая обращает его в тождество.

Отметим также, что если линейное уравнение с двумя переменными записано в виде ax + b y = c , то говорят, что оно записано в каноническом (нормальном) виде.

Некоторые линейные уравнения с двумя переменными могут быть приведены к каноническому виду.

Например, уравнение 2(16x + 3y − 4) = 2(12 + 8x − y ) можно привести к виду ax + by = c . Раскроем скобки в обеих частях этого уравнения, получим 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой. Тогда получим 32x − 16x + 6y + 2y = 24 + 8 . Приведём подобные слагаемые в обеих частях, получим уравнение 16x + 8y = 32. Это уравнение приведено к виду ax + by = c и является каноническим.

Рассмотренное ранее уравнение 25x + 10y = 200 также является линейным уравнением с двумя переменными в каноническом виде. В этом уравнении параметры a , b и c равны значениям 25, 10 и 200 соответственно.

На самом деле уравнение ax + by = c имеет бесчисленное множество решений. Решая уравнение 25x + 10y = 200, мы искали его корни толькона множестве целых чисел. В результате получили несколько пар значений, которые обращали данное уравнение в тождество. Но на множестве рациональных чисел уравнение 25x + 10y = 200 будет иметь бесчисленное множество решений.

Для получения новых пар значений, нужно взять произвольное значение для x , затем выразить y . К примеру, возьмем для переменной x значение 7. Тогда получим уравнение с одной переменной 25 × 7 + 10y = 200 в котором можно выразить y

Пусть x = 15 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × 15 + 10y = 200. Отсюда находим, что y = −17,5

Пусть x = −3 . Тогда уравнение 25x + 10y = 200 примет вид 25 × (−3) + 10y = 200. Отсюда находим, что y = −27,5

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для уравнения ax + by = c можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y . Отдельно взятое такое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений.

Но бывает и так, что переменные x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. В этом случае они образуют так называемую систему линейных уравнений с двумя переменными . Такая система уравнений может иметь одну пару значений (или по-другому: «одно решение»).

Может случиться и так, что система вовсе не имеет решений. Бесчисленное множество решений система линейных уравнений может иметь в редких и в исключительных случаях.

Два линейных уравнения образуют систему тогда, когда значения x и y входят в каждое из этих уравнений.

Вернемся к самому первому уравнению 25x + 10y = 200 . Одной из пар значений для этого уравнения была пара (6; 5) . Это случай, когда на 200 рублей можно можно было купить 6 пирожных и 5 чашек кофе.

Составим задачу так, чтобы пара (6; 5) стала единственным решением для уравнения 25x + 10y = 200 . Для этого составим ещё одно уравнение, которое связывало бы те же x пирожных и y чашечек кофе.

Поставим текст задачи следующим образом:

«Школьник купил на 200 рублей несколько пирожных и несколько чашек кофе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе купил школьник, если известно что количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе?»

Первое уравнение у нас уже есть. Это уравнение 25x + 10y = 200 . Теперь составим уравнение к условию «количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе» .

Количество пирожных это x , а количество чашек кофе это y . Можно записать эту фразу с помощью уравнения x − y = 1. Это уравнение будет означать, что разница между пирожными и кофе составляет 1.

x = y + 1 . Это уравнение означает, что количество пирожных на единицу больше, чем количество чашек кофе. Поэтому для получения равенства, к количеству чашек кофе прибавлена единица. Это легко можно понять, если воспользоваться моделью весов, которые мы рассматривали при изучении простейших задач:

Получили два уравнения: 25x + 10y = 200 и x = y + 1. Поскольку значения x и y , а именно 6 и 5 входят в каждое из этих уравнений, то вместе они образуют систему. Запишем эту систему. Если уравнения образуют систему, то они обрамляются знаком системы. Знак системы это фигурная скобка:

Давайте решим данную систему. Это позволит увидеть, как мы придём к значениям 6 и 5. Существует много методов решения таких систем. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Метод подстановки

Название этого метода говорит само за себя. Суть его заключается в том, чтобы одно уравнение подставить в другое, предварительно выразив одну из переменных.

В нашей системе ничего выражать не нужно. Во втором уравнении x = y + 1 переменная x уже выражена. Эта переменная равна выражению y + 1 . Тогда можно подставить это выражение в первое уравнение вместо переменной x

После подстановки выражения y + 1 в первое уравнение вместо x , получим уравнение 25(y + 1) + 10y = 200 . Это линейное уравнение с одной переменной. Такое уравнение решить довольно просто:

Мы нашли значение переменной y . Теперь подставим это значение в одно из уравнений и найдём значение x . Для этого удобно использовать второе уравнение x = y + 1 . В него и подставим значение y

Значит пара (6; 5) является решением системы уравнений, как мы и задумывали. Выполняем проверку и убеждаемся, что пара (6; 5) удовлетворяет системе:

Пример 2

Подставим первое уравнение x = 2 + y во второе уравнение 3x − 2y = 9 . В первом уравнении переменная x равна выражению 2 + y . Это выражение и подставим во второе уравнение вместо x

Теперь найдём значение x . Для этого подставим значение y в первое уравнение x = 2 + y

Значит решением системы является пара значение (5; 3)

Пример 3 . Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

Здесь в отличие от предыдущих примеров, одна из переменных не выражена явно.

Чтобы подставить одно уравнение в другое, сначала нужно .

Выражать желательно ту переменную, которая имеет коэффициент единицу. Коэффициент единицу имеет переменная x , которая содержится в первом уравнении x + 2y = 11 . Эту переменную и выразим.

После выражения переменной x , наша система примет следующий вид:

Теперь подставим первое уравнение во второе и найдем значение y

Подставим y x

Значит решением системы является пара значений (3; 4)

Конечно, выражать можно и переменную y . Корни от этого не изменятся. Но если выразить y, получится не очень-то и простое уравнение, на решение которого уйдет больше времени. Выглядеть это будет следующим образом:

Видим, что в данном примере выражать x намного удобнее, чем выражать y .

Пример 4 . Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:

y

Подставим y в первое уравнение и найдём x . Можно воспользоваться изначальным уравнением 7x + 9y = 8 , либо воспользоваться уравнением , в котором выражена переменная x . Этим уравнением и воспользуемся, поскольку это удобно:

Значит решением системы является пара значений (5; −3)

Метод сложения

Метод сложения заключается в том, чтобы почленно сложить уравнения, входящие в систему. Это сложение приводит к тому, что образуется новое уравнение с одной переменной. А решить такое уравнение довольно просто.

Решим следующую систему уравнений:

Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. Получим следующее равенство:

Приведем подобные слагаемые:

В результате получили простейшее уравнение 3x = 27 корень которого равен 9. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x во второе уравнение x − y = 3 . Получим 9 − y = 3 . Отсюда y = 6 .

Значит решением системы является пара значений (9; 6)

Пример 2

Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. В получившемся равенстве приведем подобные слагаемые:

В результате получили простейшее уравнение 5x = 20, корень которого равен 4. Зная значение x можно найти значение y . Подставим значение x в первое уравнение 2x + y = 11 . Получим 8 + y = 11 . Отсюда y = 3 .

Значит решением системы является пара значений (4;3)

Процесс сложения подробно не расписывают. Его нужно выполнять в уме. При сложении оба уравнения должны быть приведены к каноническому виду. То есть, к виду ac + by = c .

Из рассмотренных примеров видно, что основная цель сложения уравнений это избавление от одной из переменных. Но не всегда удаётся сразу решить систему уравнений методом сложения. Чаще всего систему предварительно приводят к виду, при котором можно сложить уравнения, входящие в эту систему.

Например, систему можно сразу решить методом сложения. При сложении обоих уравнений, слагаемые y и −y исчезнут, поскольку их сумма равна нулю. В результате образуется простейшее уравнение 11x = 22 , корень которого равен 2. Затем можно будет определить y равный 5.

А систему уравнений методом сложения сразу решить нельзя, поскольку это не приведёт к исчезновению одной из переменных. Сложение приведет к тому, что образуется уравнение 8x + y = 28 , имеющее бесчисленное множество решений.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному. Это правило справедливо и для системы линейных уравнений с двумя переменными. Одно из уравнений (или оба уравнения) можно умножить на какое-нибудь число. В результате получится равносильная система, корни которой будут совпадать с предыдущей.

Вернемся к самой первой системе , которая описывала сколько пирожных и чашек кофе купил школьник. Решением этой системы являлась пара значений (6; 5) .

Умножим оба уравнения, входящие в эту систему на какие-нибудь числа. Скажем первое уравнение умножим на 2, а второе на 3

В результате получили систему
Решением этой системы по-прежнему является пара значений (6; 5)

Это значит, что уравнения входящие в систему можно привести к виду, пригодному для применения метода сложения.

Вернемся к системе , которую мы не смогли решить методом сложения.

Умножим первое уравнение на 6, а второе на −2

Тогда получим следующую систему:

Сложим уравнения, входящие в эту систему. Сложение компонентов 12x и −12x даст в результате 0, сложение 18y и 4y даст 22y , а сложение 108 и −20 даст 88. Тогда получится уравнение 22y = 88 , отсюда y = 4 .

Если первое время тяжело складывать уравнения в уме, то можно записывать как складывается левая часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, а правая часть первого уравнения с правой частью второго уравнения:

Зная, что значение переменной y равно 4, можно найти значение x . Подставим y в одно из уравнений, например в первое уравнение 2x + 3y = 18 . Тогда получим уравнение с одной переменной 2x + 12 = 18 . Перенесем 12 в правую часть, изменив знак, получим 2x = 6 , отсюда x = 3 .

Пример 4 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Умножим второе уравнение на −1. Тогда система примет следующий вид:

Сложим оба уравнения. Сложение компонентов x и −x даст в результате 0, сложение 5y и 3y даст 8y , а сложение 7 и 1 даст 8. В результате получится уравнение 8y = 8 , корень которого равен 1. Зная, что значение y равно 1, можно найти значение x .

Подставим y в первое уравнение, получим x + 5 = 7 , отсюда x = 2

Пример 5 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Желательно, чтобы слагаемые содержащие одинаковые переменные, располагались друг под другом. Поэтому во втором уравнении слагаемые 5y и −2x поменяем местами. В результате система примет вид:

Умножим второе уравнение на 3. Тогда система примет вид:

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения получим уравнение 8y = 16 , корень которого равен 2.

Подставим y в первое уравнение, получим 6x − 14 = 40 . Перенесем слагаемое −14 в правую часть, изменив знак, получим 6x = 54 . Отсюда x = 9.

Пример 6 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 36, а второе на 12

В получившейся системе первое уравнение можно умножить на −5, а второе на 8

Сложим уравнения в получившейся системе. Тогда получим простейшее уравнение −13y = −156 . Отсюда y = 12 . Подставим y в первое уравнение и найдем x

Пример 7 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Приведем оба уравнения к нормальному виду. Здесь удобно применить правило пропорции в обоих уравнениях. Если в первом уравнении правую часть представить как , а правую часть второго уравнения как , то система примет вид:

У нас получилась пропорция. Перемножим её крайние и средние члены. Тогда система примет вид:

Первое уравнение умножим на −3, а во втором раскроем скобки:

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения этих уравнений, мы получим равенство, в обеих частях которого будет ноль:

Получается, что система имеет бесчисленное множество решений.

Но мы не можем просто так взять с неба произвольные значения для x и y . Мы можем указать одно из значений, а другое определится в зависимости от значения, указанного нами. Например, пусть x = 2 . Подставим это значение в систему:

В результате решения одного из уравнений, определится значение для y , которое будет удовлетворять обоим уравнениям:

Получившаяся пара значений (2; −2) будет удовлетворять системе:

Найдём еще одну пару значений. Пусть x = 4. Подставим это значение в систему:

На глаз можно определить, что значение y равно нулю. Тогда получим пару значений (4; 0), которая удовлетворяет нашей системе:

Пример 8 . Решить следующую систему уравнений методом сложения:

Умножим первое уравнение на 6, а второе на 12

Перепишем то, что осталось:

Первое уравнение умножим на −1. Тогда система примет вид:

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения образуется уравнение 6b = 48 , корень которого равен 8. Подставим b в первое уравнение и найдём a

Система линейных уравнений с тремя переменными

В линейное уравнение с тремя переменными входит три переменные с коэффициентами, а также свободный член. В каноническом виде его можно записать следующим образом:

ax + by + cz = d

Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Решением в этом случае является тройка значений (x; y; z ) которая обращает уравнение в тождество.

Если переменные x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех линейных уравнений с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять те же методы, которые применяются к линейным уравнениям с двумя переменными: метод подстановки и метод сложения.

Пример 1 . Решить следующую систему уравнений методом подстановки:

Выразим в третьем уравнении x . Тогда система примет вид:

Теперь выполним подстановку. Переменная x равна выражению 3 − 2y − 2z . Подставим это выражение в первое и второе уравнение:

Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:

Мы пришли к системе линейных уравнений с двумя переменными. В данном случае удобно применить метод сложения. В результате переменная y исчезнет, и мы сможем найти значение переменной z

Теперь найдём значение y . Для этого удобно воспользоваться уравнением −y + z = 4. Подставим в него значение z

Теперь найдём значение x . Для этого удобно воспользоваться уравнением x = 3 − 2y − 2z . Подставим в него значения y и z

Таким образом, тройка значений (3; −2; 2) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:

Пример 2 . Решить систему методом сложения

Сложим первое уравнение со вторым, умноженным на −2.

Если второе уравнение умножить на −2, то оно примет вид −6x + 6y − 4z = −4 . Теперь сложим его с первым уравнением:

Видим, что в результате элементарных преобразований, определилось значение переменной x . Оно равно единице.

Вернемся к главной системе. Сложим второе уравнение с третьим, умноженным на −1. Если третье уравнение умножить на −1, то оно примет вид −4x + 5y − 2z = −1 . Теперь сложим его со вторым уравнением:

Получили уравнение x − 2y = −1 . Подставим в него значение x , которое мы находили ранее. Тогда мы сможем определить значение y

Теперь нам известны значения x и y . Это позволяет определить значение z . Воспользуемся одним из уравнений, входящим в систему:

Таким образом, тройка значений (1; 1; 1) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:

Задачи на составление систем линейных уравнений

Задача на составление систем уравнений решается путем ввода нескольких переменных. Далее составляются уравнения на основании условий задачи. Из составленных уравнений образуют систему и решают её. Решив систему, необходимо выполнить проверку на то, удовлетворяет ли её решение условиям задачи.

Задача 1 . Из города в колхоз выехала машина «Волга». Обратно она возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой. Всего в оба конца машина проехала 35 км. Сколько километров составляет длина каждой дороги?

Решение

Пусть x — длина первой дороги, y — длина второй. Если в оба конца машина проехала 35 км, то первое уравнение можно записать как x + y = 35. Это уравнение описывает сумму длин обеих дорог.

Сказано, что обратно машина возвращалась по дороге которая была короче первой на 5 км. Тогда второе уравнение можно записать как x − y = 5. Это уравнение показывает, что разница между длинами дорог составляет 5 км.

Либо второе уравнение можно записать как x = y + 5 . Этим уравнением и воспользуемся.

Поскольку переменные x и y в обоих уравнениях обозначают одно и то же число, то мы можем образовать из них систему:

Решим эту систему каким-нибудь из изученных ранее методов. В данном случае удобно воспользоваться методом подстановки, поскольку во втором уравнении переменная x уже выражена.

Подставим второе уравнение в первое и найдём y

Подставим найденное значение y в во второе уравнение x = y + 5 и найдём x

Длина первой дороги была обозначена через переменную x . Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 20. Значит длина первой дороги составляет 20 км.

А длина второй дороги была обозначена через y . Значение этой переменной равно 15. Значит длина второй дороги составляет 15 км.

Выполним проверку. Для начала убедимся, что система решена правильно:

Теперь проверим удовлетворяет ли решение (20; 15) условиям задачи.

Было сказано, что всего в оба конца машина проехала 35 км. Складываем длины обеих дорог и убеждаемся, что решение (20; 15) удовлетворяет данному условию: 20 км + 15 км = 35 км

Следующее условие: обратно машина возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой . Видим, что решение (20; 15) удовлетворяет и этому условию, поскольку 15 км короче, чем 20 км на 5 км: 20 км − 15 км = 5 км

При составлении системы важно, чтобы переменные обозначали одни и те же числа во всех уравнениях, входящих в эту систему.

Так наша система содержит два уравнения. Эти уравнения в свою очередь содержат переменные x и y , которые обозначают одни и те же числа в обоих уравнениях, а именно длины дорог, равных 20 км и 15 км.

Задача 2 . На платформу были погружены дубовые и сосновые шпалы, всего 300 шпал. Известно, что все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые. Определить, сколько было дубовых и сосновых шпал отдельно, если каждая дубовая шпала весила 46 кг, а каждая сосновая 28 кг.

Решение

Пусть x дубовых и y сосновых шпал было погружено на платформу. Если всего шпал было 300, то первое уравнение можно записать как x + y = 300 .

Все дубовые шпалы весили 46x кг, а сосновые весили 28y кг. Поскольку дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем сосновые, то второе уравнение можно записать, как 28y − 46x = 1000 . Это уравнение показывает, что разница масс между дубовыми и сосновыми шпалами, составляет 1000 кг.

Тонны были переведены в килограммы, поскольку масса дубовых и сосновых шпал измерена в килограммах.

В результате получаем два уравнения, которые образуют систему

Решим данную систему. Выразим в первом уравнении x . Тогда система примет вид:

Подставим первое уравнение во второе и найдём y

Подставим y в уравнение x = 300 − y и узнаем чему равно x

Значит на платформу было погружено 100 дубовых и 200 сосновых шпал.

Проверим удовлетворяет ли решение (100; 200) условиям задачи. Для начала убедимся, что система решена правильно:

Было сказано, что всего было 300 шпал. Складываем количество дубовых и сосновых шпал и убеждаемся, что решение (100; 200) удовлетворяет данному условию: 100 + 200 = 300.

Следующее условие: все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые . Видим, что решение (100; 200) удовлетворяет и этому условию, поскольку 46 × 100 кг дубовых шпал легче, чем 28 × 200 кг сосновых шпал: 5600 кг − 4600 кг = 1000 кг.

Задача 3 . Взяли три куска сплава меди с никелем в отношениях 2: 1 , 3: 1 и 5: 1 по массе. Из них сплавлен кусок массой 12 кг с отношением содержания меди и никеля 4: 1 . Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого из них вдвое больше массы второго.

Однако на практике широко распространены еще два случая:

– Система несовместна (не имеет решений);
– Система совместна и имеет бесконечно много решений.

Примечание : термин «совместность» подразумевает, что у системы существует хоть какое-то решение. В ряде задач требуется предварительно исследовать систему на совместность, как это сделать – см. статью о ранге матриц .

Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса . На самом деле, к ответу приведет и «школьный» способ, но в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных. Те, кто не знаком с алгоритмом метода Гаусса, пожалуйста, сначала изучите урок метод Гаусса для чайников .

Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же , разница будет в концовке решения. Сначала рассмотрим пару примеров, когда система не имеет решений (несовместна).

Пример 1

Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных , то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить.

Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1.

(2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5.

(3) После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3.

(4) К третьей строке прибавляем вторую строку.

Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: . Ясно, что так быть не может. Действительно, перепишем полученную матрицу обратно в систему линейных уравнений:

Если в результате элементарных преобразований получена строка вида , где – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений) .

Как записать концовку задания? Нарисуем белым мелом: «в результате элементарных преобразований получена строка вида , где » и дадим ответ: система не имеет решений (несовместна).

Если же по условию требуется ИССЛЕДОВАТЬ систему на совместность, тогда необходимо оформить решение в более солидном стиле с привлечением понятия ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли .

Обратите внимание, что здесь нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса – решений нет и находить попросту нечего.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Снова напоминаю, что ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, у алгоритма Гаусса нет сильной «жёсткости».

Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же , как только появилась строка вида , где . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица . Матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет никакой необходимости, так как появилась строка вида , где . Следует сразу дать ответ, что система несовместна.

Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия.

Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее.

Пример 3

Решить систему линейных уравнений

Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом его и универсальность.

Начало опять стандартное. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Вот и всё, а вы боялись.

(1) Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –4. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1.

Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1 – именно так!

(2) Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить.

Здесь опять нужно проявить повышенное внимание , а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки (особенно, чайнику) не лишним будет вторую строку умножить на –1, а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них.

В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду:

При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом.

Перепишем соответствующую систему уравнений:

«Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки тоже нет. Значит, это третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений. Иногда по условию нужно исследовать совместность системы (т.е. доказать, что решение вообще существует), об этом можно прочитать в последнем параграфе статьи Как найти ранг матрицы? Но пока разбираем азы:

Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы .

Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса.

Сначала нужно определить, какие переменные у нас являются базисными , а какие переменные свободными . Не обязательно заморачиваться терминами линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные .

Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы .
В данном примере базисными переменными являются и

Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: – свободные переменные.

Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные .

Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх.
Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную :

Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала в него подставляем найденное выражение :

Осталось выразить базисную переменную через свободные переменные :

В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные ( и ) выражены только через свободные переменные :

Собственно, общее решение готово:

Как правильно записать общее решение?
Свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные следует записать на второй и четвертой позиции:
.

Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:

Придавая свободным переменным произвольные значения , можно найти бесконечно много частных решений . Самыми популярными значениями являются нули, поскольку частное решение получается проще всего. Подставим в общее решение:

– частное решение.

Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим в общее решение:

– еще одно частное решение.

Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений (так как свободным переменным мы можем придать любые значения)

Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение и подставьте его в левую часть каждого уравнения исходной системы:

Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись.

Но, строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какое-нибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно.

Поэтому более основательна и надёжна проверка общего решения. Как проверить полученное общее решение ?

Это несложно, но довольно муторно. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы.

В левую часть первого уравнения системы:

В левую часть второго уравнения системы:


Получена правая часть исходного уравнения.

Пример 4

Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений. Что важно в самом процессе решения? Внимание, и еще раз внимание . Полное решение и ответ в конце урока.

И еще пара примеров для закрепления материала

Пример 5

Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения

Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.
(2) К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –5. К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –7.
(3) Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем.

Вот такая красота:

Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому – базисные переменные.
Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна:

Обратный ход:
Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Из третьего уравнения:

Рассмотрим второе уравнение и подставим в него найденное выражение :

Рассмотрим первое уравнение и подставим в него найденные выражения и :

Да, всё-таки удобен калькулятор, который считает обыкновенные дроби.

Таким образом, общее решение:

Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных , тоже заняли свои порядковые места.

Сразу выполним проверку общего решения. Работа для негров, но она у меня уже выполнена, поэтому ловите =)

Подставляем трех богатырей , , в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, общее решение найдено верно.

Теперь из найденного общего решения получим два частных решения. Шеф-поваром здесь выступает единственная свободная переменная . Ломать голову не нужно.

Пусть , тогда – частное решение.
Пусть , тогда – еще одно частное решение.

Ответ : Общее решение: , частные решения: , .

Зря я тут про негров вспомнил... ...потому что в голову полезли всякие садистские мотивы и вспомнилась известная фотожаба, на которой куклуксклановцы в белых балахонах бегут по полю за чернокожим футболистом. Сижу, тихо улыбаюсь. Знаете, как отвлекает….

Много математики вредно, поэтому похожий заключительный пример для самостоятельного решения.

Пример 6

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Проверка общего решения у меня уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, главное, чтобы совпали общие решения.

Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.

Остановлюсь на некоторых особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах.

В общее решение системы иногда может входить константа (или константы), например: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.

Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных . Метод Гаусса работает в самых суровых условиях, следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.

Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.

Переменная x i называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:

Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.

Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:

1. Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.

В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.

Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.

И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует

Метод Гаусса имеет ряд недостатков: нельзя узнать, совместна система или нет, пока не будут проведены все преобразования, необходимые в методе Гаусса; метод Гаусса не пригоден для систем с буквенными коэффициентами.

Рассмотрим другие методы решения систем линейных уравнений. Эти методы используют понятие ранга матрицы и сводят решение любой совместной системы к решению системы, к которой применимо правило Крамера.

Пример 1. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений с помощью фундаментальной системы решений приведенной однородной системы и частного решения неоднородной системы.

1. Составляем матрицу A и расширенную матрицу системы (1)

2. Исследуем систему (1) на совместность. Для этого находим ранги матриц A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Если окажется, что , то система (1) несовместна. Если же получим, что , то эта система совместна и мы ее будем решать. (Исследование на совместность основано на теореме Кронекера-Капелли).

a. Находим rA .

Чтобы найти rA , будем рассматривать последовательно отличные от нуля миноры первого, второго и т. д. порядков матрицы A и окаймляющие их миноры.

М1 =1≠0 (1 берем из левого верхнего угла матрицы А ).

Окаймляем М1 второй строкой и вторым столбцом этой матрицы. . Продолжаем окаймлять М1 второй строкой и третьим столбцом..gif" width="37" height="20 src=">. Теперь окаймляем отличный от нуля минор М2′ второго порядка.

Имеем: (т. к. два первых столбца одинаковые)

(т. к. вторая и третья строки пропорциональны).

Мы видим, что rA=2 , а - базисный минор матрицы A .

b. Находим .

Достаточно базисный минор М2′ матрицы A окаймить столбцом свободных членов и всеми строками (у нас только последней строкой).

. Отсюда следует, что и М3′′ остается базисным минором матрицы https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75">(2)

Так как М2′ - базисный минор матрицы A системы (2) , то эта система эквивалентна системе (3) , состоящей из первых двух уравнений системы (2) (ибо М2′ находится в первых двух строках матрицы A).

(3)

Так как базисный минор https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51">(4)

В этой системе два свободных неизвестных (x2 и x4 ). Поэтому ФСР системы (4) состоит из двух решений. Чтобы их найти, придадим свободным неизвестным в (4) сначала значения x2=1 , x4=0 , а затем – x2=0 , x4=1 .

При x2=1 , x4=0 получим:

.

Эта система уже имеет единственное решение (его можно найти по правилу Крамера или любым другим способом). Вычитая из второго уравнения первое, получим:

Ее решением будет x1= -1 , x3=0 . Учитывая значения x2 и x4 , которые мы придали, получаем первое фундаментальное решение системы (2) : .

Теперь полагаем в (4) x2=0 , x4=1 . Получим:

.

Решаем эту систему по теореме Крамера:

.

Получаем второе фундаментальное решение системы (2) : .

Решения β1 , β2 и составляют ФСР системы (2) . Тогда ее общим решением будет

γ= С1β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Здесь С1 , С2 – произвольные постоянные.

4. Найдем одно частное решение неоднородной системы (1) . Как и в пункте 3 , вместо системы (1) рассмотрим эквивалентную ей систему (5) , состоящую из первых двух уравнений системы (1) .

(5)

Перенесем в правые части свободные неизвестные x2 и x4 .

(6)

Придадим свободным неизвестным x2 и x4 произвольные значения, например, x2=2 , x4=1 и подставим их в (6) . Получим систему

Эта система имеет единственное решение (т. к. ее определитель М2′0 ). Решая ее (по теореме Крамера или методом Гаусса), получим x1=3 , x3=3 . Учитывая значения свободных неизвестных x2 и x4 , получим частное решение неоднородной системы (1) α1=(3,2,3,1).

5. Теперь осталось записать общее решение α неоднородной системы (1) : оно равно сумме частного решения этой системы и общего решения ее приведенной однородной системы (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Это значит: (7)

6. Проверка. Чтобы проверить, правильно ли вы решили систему (1) , надо общее решение (7) подставить в (1) . Если каждое уравнение обратится в тождество (С1 и С2 должны уничтожиться), то решение найдено верно.

Мы подставим (7) для примера только в последнее уравнение системы (1) (x 1 + x 2 + x 3 ‑9 x 4 =‑1) .

Получим: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Откуда –1=–1. Получили тождество. Так поступаем со всеми остальными уравнениями системы (1) .

Замечание. Проверка обычно довольно громоздкая. Можно рекомендовать следующую «частичную проверку»: в общем решении системы (1) произвольным постоянным придать некоторые значения и подставить полученное частное решение только в отброшенные уравнения (т. е. в те уравнения из (1) , которые не вошли в (5) ). Если получите тождества, то, скорее всего , решение системы (1) найдено правильно (но полной гарантии правильности такая проверка не дает!). Например, если в (7) положить С2= - 1 , С1=1 , то получим: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Подставляя в последнее уравнение системы (1), имеем: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , т. е. –1=–1. Получили тождество.

Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений (1) , выразив основные неизвестные через свободные.

Решение. Как и в примере 1 , составляем матрицы A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> этих матриц. Оставляем теперь только те уравнения системы (1) , коэффициенты из которых входят в этот базисный минор (т. е. у нас – первые два уравнения) и рассматриваем состоящую из них систему, эквивалентную системе (1).

Перенесем в правые части этих уравнений свободные неизвестные.

Систему (9) решаем методом Гаусса, считая правые части свободными членами.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Вариант 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Вариант 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Вариант 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Вариант 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

На данном уроке мы рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходится иметь дело практически во всех разделах высшей математики.

Сначала немного теории. Что в данном случае обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнения системы все переменные входят в первой степени : без всяких причудливых вещей вроде и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад.

В высшей математике для обозначения переменных используются не только знакомые с детства буквы .
Довольно популярный вариант – переменные с индексами: .
Либо начальные буквы латинского алфавита, маленькие и большие:
Не так уж редко можно встретить греческие буквы: – известные многим «альфа, бета, гамма». А также набор с индексами, скажем, с буквой «мю»:

Использование того или иного набора букв зависит от раздела высшей математики, в котором мы сталкиваемся с системой линейных уравнений. Так, например, в системах линейных уравнений, встречающихся при решении интегралов, дифференциальных уравнений традиционно принято использовать обозначения

Но как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и способы решения системы линейных уравнений от этого не меняются. Таким образом, если Вам встретится что-нибудь страшное типа , не спешите в страхе закрывать задачник, в конце концов, вместо можно нарисовать солнце, вместо – птичку, а вместо – рожицу (преподавателя). И, как ни смешно, систему линейных уравнений с данными обозначениями тоже можно решить.

Что-то у меня есть такое предчувствие, что статья получится довольно длинной, поэтому небольшое оглавление. Итак, последовательный «разбор полётов» будет таким::

– Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод») ;
– Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы ;
– Решение системы по формулам Крамера ;
– Решение системы с помощью обратной матрицы ;
– Решение системы методом Гаусса .

С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения.

Решение системы линейных уравнений методом подстановки

Данный метод также можно назвать «школьным методом» или методом исключения неизвестных. Образно говоря, его еще можно назвать «недоделанным методом Гаусса».

Пример 1

Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа 5 и 7) расположены в левой части уравнения. Вообще говоря, без разницы, где они находятся, слева или справа, просто в задачах по высшей математике нередко они расположены именно так. И такая запись не должна приводить в замешательство, при необходимости систему всегда можно записать «как обычно»: . Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.

Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти множество её решений. Решение системы представляет собой набор значений всех входящих в неё переменных, который обращает КАЖДОЕ уравнение системы в верное равенство. Кроме того, система может быть несовместной (не иметь решений) .Не тушуйтесь, это общее определение =) У нас же будет всего лишь одно значение «икс» и одно значение «игрек», которые удовлетворяют каждому уравнению с-мы.

Существует графический метод решения системы, с которым можно ознакомиться на уроке Простейшие задачи с прямой . Там же я рассказал о геометрическом смысле системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Но сейчас на дворе эра алгебры, и числа-числа, действия-действия.

Решаем : из первого уравнения выразим:
Полученное выражение подставляем во второе уравнение:

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :

Далее вспоминаем про то, от чего плясали:
Значение нам уже известно, осталось найти:

Ответ :

После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку (устно, на черновике либо калькуляторе) . Благо, делается это легко и быстро.

1) Подставляем найденный ответ в первое уравнение :

– получено верное равенство.

2) Подставляем найденный ответ во второе уравнение :

– получено верное равенство.

Или, если говорить проще, «всё сошлось»

Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было выразить , а не .
Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения и подставить в первое уравнение. Кстати, заметьте, самый невыгодный из четырех способов – выразить из второго уравнения:

Получаются дроби, а оно зачем? Есть более рациональное решение.

Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. В этой связи обращаю Ваше вниманиена то, КАК я записал выражение. Не так: , и ни в коем случае не так: .

Если в высшей математике Вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных неправильных дробях .

Именно , а не или !

Запятую можно использовать лишь иногда, в частности, если – это окончательный ответ какой-нибудь задачи, и с этим числом больше не нужно выполнять никаких действий.

Многие читатели наверняка подумали «да зачем такое подробное объяснение, как для класса коррекции, и так всё понятно». Ничего подобного, вроде бы такой простой школьный пример, а сколько ОЧЕНЬ важных выводов! Вот еще один:

Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом . Хотя бы потому, что это экономит время и нервы, а также снижает вероятность допустить ошибку.

Если в задаче по высшей математике Вам встретилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то всегда можно использовать метод подстановки (если не указано, что систему нужно решить другим методом) Ни один преподаватель не подумает, что ты лох снизит оценку за использование «школьного метода».
Более того, в ряде случаев метод подстановки целесообразно использовать и при большем количестве переменных.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными

Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробно-рациональной функции . Рассматриваемая система взята мной как раз оттуда.

При нахождении интеграла – цель быстро найти значения коэффициентов , а не изощряться формулами Крамера, методом обратной матрицы и т.д. Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки.

Когда дана любая система уравнений, в первую очередь желательно выяснить, а нельзя ли ее как-нибудь СРАЗУ упростить? Анализируя уравнения системы, замечаем, что второе уравнение системы можно разделить на 2, что мы и делаем:

Справка: математический знак обозначает «из этого следует это», он часто используется в ходе решения задач.

Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные. Какое уравнение выбрать? Наверное, Вы уже догадались, что проще всего для этой цели взять первое уравнение системы:

Здесь без разницы, какую переменную выражать, можно было с таким же успехом выразить или .

Далее, выражение для подставляем во второе и третье уравнения системы:

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Третье уравнение делим на 2:

Из второго уравнения выразим и подставим в третьей уравнение:

Практически всё готово, из третьего уравнения находим:
Из второго уравнения:
Из первого уравнения:

Проверка: Подставим найденные значения переменных в левую часть каждого уравнения системы:

1)
2)
3)

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, решение найдено верно.

Пример 3

Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.

Пример 4

Решить систему линейных уравнений:

Я взял ту же систему, что и первом примере.
Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:

Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО.
Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных .