Тема производная сложной функции. Разработка урока на тему: " Производная сложной функции". Основные теоремы о дифференциалах

Данный урок является уроком изучения новой темы. Представленная разработка урока раскрывает методические подходы к введению понятия сложной функции, алгоритма вычисления её производной. Разработка предназначена для проведения уроков среди обучающихся 1 курса учреждений уровня профессионального образования.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Производная сложной функции

Цели: 1) образовательная – сформировать понятие сложной функции, изучить алгоритм вычисления производной сложной функции, показать его применение при вычислении производных.

2) развивающая – продолжить развитие умений логически и аргументировано рассуждать, используя обобщения, анализ, сравнение при изучении производной сложной функции.

3) воспитательная – воспитывать наблюдательность в ходе отыскания математических зависимостей, продолжить формирование самооценки при осуществлении дифференцированного обучения, повышать интерес к математике.

Оборудование: таблица производных, презентация к уроку.

Схема урока:

I. АЗ.

1. Мобилизующее начало (постановка цели работы на уроке).

2. Устная работа с целью актуализации опорных знаний.

3. Проверка домашнего задания с целью мотивации изучения нового материала.

4. Подведение итогов I этапа и постановка задач следующего.

II. ФНЗ и СД.

1. Эвристическая беседа с целью введения понятия сложной функции.
2. Устная фронтальная работа с целью закрепления определения сложной функции.
3. Сообщение учителем алгоритма вычисления производной сложной функции.
4. Первичное закрепление алгоритма вычисления производной сложной функции фронтально.
5. Подведение итогов II этапа и постановка задач на следующий.

III. ФУН.

1. Решение задачи с опорой на алгоритм вычисления производной сложной функции фронтально у доски учеником.

2. Дифференцированная работа по решению задач с последующей проверкой фронтально у доски.

3. Подведение итогов урока

4. Выдача домашнего задания.

Ход урока.

I АЗ

1. Выдающий русский математик и кораблестроитель академик Алексей Николаевич Крылов (1863-1945) однажды заметил, человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами. Ему прежде всего нужно ознакомиться со столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть». С одним из таких инструментов мы с вами познакомились – это производная. Сегодня на уроке мы продолжаем изучать тему «Производная» и наша задача рассмотреть новый вопрос «Производная сложной функции», т.е. мы выясним, что такое сложное функция и как вычисляется её производная.

2. Теперь давайте вспомним, как вычисляется производная различных функций. Для этого вы должны выполнить 7 заданий. К каждому заданию предложены варианты ответов, зашифрованные буквами. Правильное решение каждого задания позволяет открыть нужную букву фамилии ученого, который ввел обозначение y " , f " (x).

Найти производную функции.

1) y = 5 y " = 0 Л

Y " = 5x Н

Y " = 1 Б

2) y = -x y " = 1 В

Y " = -1 А

Y " = x 2 И

3) y = 2x+3 y " = 3 У

Y " = x И

Y " = 2 Г

4) y = - 12 y " = Р

Y " = 1 Т

Y " = -12 Г

5) y=x 4 y " = П

Y " = 4x 3 А

y " = x 3 С

6) y=-5x 3 y " = -15x 2 Н

Y " = -5x 2 О

y " = 5x 2 Р

7) y=x-x 3 y " = 1-x 2 Д

Y " = 1-3x 2 Ж

Y " = x-3x 2 А

(Задания на слайдах 2 – 3).

Итак, фамилия ученого Лагранж, а мы тем самым повторили вычисление производных различных функций.

3. Один из учащихся заполняет таблицу: (слайд 4).

Какие есть вопросы? В результате беседы приходим к выводу, что не знаем, как вычислить ()"; ((4-x) 3 ) "

4. Как называется функция 1), 2), 3), 4).

1) – линейная, 2) степенная, 3) степенная, 4) -?, 5) -?

Сейчас мы выясним, как называются такие функции, как вычисляются их производные.

II. ФНЗ и СД.

1. Для того, чтобы это сделать рассмотрим функцию Z = f(x) =

Какова последовательность вычисления значений функции?

А) g = 4-x

Б) h =

Как называется зависимость между g и h ?

Функцией

Значит g и h могут быть представлены в виде:

G = g(x) = 4-x

H = h(g) =

В результате последовательного выполнения функций g и h по заданному значению x будет вычислено значение какой функции?

F(x)

Z = f(x) = h(g) = h(g(x))

Таким образом, f(x) = h(g(x)).

Говорят, что f есть сложная функция, составленная из g и h. Функция

g – внутренняя, h – внешняя.

В нашем примере 4-x внутренняя функция, а √ - внешняя.

G(x) = 4-x

H(g) =

2. Какие из следующих функций являются сложными? В случае сложной функции назовите внутреннюю и внешнюю (на слайде 8 написаны следующие функции:

а) f(x) = 5x+1; б) f(x) = (3-5x) 5 ; в) f(x) = cos3x.

3. Итак, мы выяснили, что такое сложная функция. Как же считать её производную?

Алгоритм вычисления производной сложной функции f(x) = h(g(x)).

1. определить внутреннюю функцию g(x).
2. найти производную внутренней функции g"(x)
3. определить внешнюю функцию h(g)
4. найти производную внешней функции h"(g)
5. найти произведение производной внутренней на производную внешней функции g"(x) ∙ h"(g)

Каждому дается памятника с алгоритмом.

4. Учитель у доски: f(x) = (3-5x) 5

1. g(x) = 3-5x
2. g"(x) = -5
3. h(g) = g 5
4. h"(g)=5g 4
5. f "(x) = g"(x) ∙ h"(g) = -5 ∙ 5g 4 = -5 ∙ 5(3-5x) 4 = -25(3-5x) 4

5. Итак, мы выяснили, что такое сложная функция и как вычисляется её производная.

III. ФУН.

1. Теперь давайте поучимся находить производные различных сложных функций. Выполняется учащимся с продвинутым уровнем обучения.

Найти производную функции f(x) =

1) g(x) = 4-x

2) g"(x) = -1

3) h(g) =

4) h"(g) =

5) f "(x) = g"(x) ∙ h"(g) = -1 ∙ = -

2. Найти производную функции:

«3» f(x) = (1 – 2x) 4

«4» f(x) = (x 2 – 6x + 5) 7

«5» f(x) = - (1 – x) 3

3. Подведение итогов.

4. Д/З: выучить алгоритм. Найти производную.

«3» - f(x) = (2+4x) 9

«4» - f(x) =

«5» - f(x) =

Используемая л итература:

1. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.

2. Ивлев Б.М., Саакян С.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 кл. М.: Просвещение - 2006.

3. Дорофеев Г.В. «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы» - М.: Дрофа, 2007.

4. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 кл. 2-е изд. – М.: 1992.- 351с.

Тип урока: комбинированный

образовательная:

– формирование понятия сложной функции;

Формирование умения находить по правилу производную сложной функции;

Отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении примеров.

развивающая:

Развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

Развивать наглядно-действенное творческое воображение;

Развивать познавательный интерес.

воспитательная:

Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

Формирование умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.

Воспитание дружеского отношения между студентами при проведении урока.

Студент должен знать:

понятие сложной функции, правило нахождения ее производной.

Студент должен уметь:

находить по правилу производную сложной функции, использовать это правило при решении примеров.

Межпредметные связи: физика, геометрия, экономика.

Оснащение урока: мультимедиа-проектор, магнитная доска, классная доска, мел, раздаточный материал к уроку.

План урока:

Сообщение цели, задач урока и мотивации учебной деятельности – 3 мин.

1. Проверка выполнения домашнего задания – 5 мин (фронтальная проверка, самоконтроль).
2. Всесторонняя проверка знаний – 10 мин (фронтальная работа, взаимоконтроль).
3. Подготовка к усвоению (изучению) нового учебного материала через повторение и актуализацию опорных знаний – 5 мин (проблемная ситуация).
4. Усвоение новых знаний – 15 мин (фронтальная работа под руководством преподавателя).
5. Первичное осмысление и понимание нового материала - 20 мин (фронтальная работа: один студент показывает решение примера на доске, остальные решают в тетрадях).
6. Закрепление новых знаний – 15 мин (самостоятельная работа – тест в двух вариантах, с дифференцированными заданиями).
7. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении – 2 мин.
8. Подведение итогов урока, рефлексия – 5 мин.

Проверить подготовленность аудитории и готовность студентов к уроку, отметить отсутствующих.

Отметить, что на данном уроке продолжается работа по теме “Производная функции”.

II. Проверка домашнего задания.

На дом заданы примеры на нахождение производной функции:

5) в точке х=0.

Ответы спроецированы на мультимедиапроектор.

Студенты индивидуально проверяют свои ответы и ставят себе (самоконтроль) оценку в лист контроля. У каждого студента имеется лист контроля, критерий оценки за домашнюю работу и образец листа контроля в раздаточном материале к уроку

Лист контроля

Вызвать к доске студента показать оформление решения примера № 5 с комментарием выполненных действий.

Обратить внимание на правильное решение и правильное оформление решения домашнего примера №5.

Игра “Математическое лото” - проверка знаний правил дифференцирования, таблицы производных.

В специальном конверте каждой паре студентов предлагается набор карточек (всего 10 карточек). Это - карточки-формулы. Имеется другой набор карточек. Это - карточки-ответы, которых больше, так как среди ответов есть ложные ответы. Студент находит ответ на задание, и этой карточкой (ответом) накрывает соответствующий номер в специальной карте. Студенты работают в паре, поэтому оценивают друг друга, выставляют оценки в лист контроля согласно критерия: “5” - знает 9-10 формул; “4” - знает 7-8 формул; “3” - знает 5-6 формул; “2” - знает меньше 5 формул.

Идет проверка и оценка знаний формул на магнитной доске. В случае правильных ответов на магнитной доске обратные стороны карточек-ответов составляют большую картину, которую видит вся группа. Номера в специальной карте совпадают с номерами карточек-формул. Если раскрыть на магнитной доске ответы с обратной стороны, то все карточки в целом образуют картину.

Постановка проблемной ситуации: найти производную функции ;

На прошлых уроках мы научились находить производные элементарных функций. Функции сложные. Умеем ли мы находить производные сложных функций?

Значит, с чем мы должны сегодня познакомиться?

[С нахождением производной сложных функций.]

Студенты сами формулируют тему и задачи урока, преподаватель записывает тему на доске, а студенты – в тетради.

Историческая справка, связь с будущей профессиональной деятельностью.

Показать на доске нахождение производных функций: ;

Решите примеры:

3)

Повторить алгоритм нахождения производной сложной функции;

Решить примеры:

2)

3)

4) ;

Задания с тестами дифференцированные: примеры с № 1-3 оцениваются на “3”, до № 4 – на “4”, все пять примеров – на “5”.

Студенты решают в тетради и проверяют ответы друг у друга с помощью мультимедиа и ставят оценку друг другу (взаимоконтроль) в лист контроля.

Вариант 1.

Найти производные функций. (А., В., С. – ответы)

1
2
3
4
5
4
5

Тема урока: Производная сложной функции.

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

образовательная:

– формирование понятия сложной функции;

Изучение правила нахождения производной сложной функции .

Отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении примеров.

развивающая:

Развивать логику, умение анализировать, планировать свою учебную деятельность, логически излагать свои мысли

Развивать познавательный интерес.

воспитательная:

Воспитание и развитие разносторонних интересов личности;

Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

План урока:

1. Организационный.момент: готовность группы к уроку, проверка отсутствующих на уроке.

2.Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний: повторение пройденного материала.

4.Изучение нового материала.

5. Закрепление материала

6. Домашнее задание

Ход урока:

1.Орг.момент: Приветствие, проверка готовности группы на уроке, сообщение темы и цели урока, мотивация учебной деятельности.

2. Проверка домашнего задания: Учащиеся показывают выполнение домашнего задания по пройденной теме.

3. Актуализация знаний учащихся:

1. Ребята, давайте вспомним, что же такое производная функции?

Ответ: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента в этой точке при .

2.Геометрический смысл производной в каком уравнение выражается?

Ответ: Выражается в уравнение касательной.

3.В механическом смысле первая производная пути по времени это?

Ответ: Скорость

4. Как по другому называют точки экстремума и минимума?

Ответ: Критические точки производной.

5.Чему равна производная постоянной?

Ответ: 0

6. Карточки с примерами:

а) у=5 x +3 x 2 ; б) у = ;в) у= ; г) у= ; д)2 x 7 +; е) у=

7. Постановка проблемной ситуации: найти производную функции

у =ln( sin x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х , а функция s in x этого переменного .

1.Как вы думаете, называются эти функции?

Ответ: функции называются сложными функциями или функциями от функций.

2.Умеем ли мы находить производные сложных функций?

Ответ: Нет.

3.Значит, с чем мы должны сейчас познакомиться?

Ответ: С нахождением производной сложных функций.

4.Как будет звучать тема нашего сегодняшнего занятия?

Ответ: Производная сложной функции

4. Изучение нового материала.

Правила и формулы дифференцирования, которые мы рассмотрели на прошлом занятии, является основными при вычислении производных. Но, если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом очень непростым.

Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Производная сложной функции

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение : Функция вида y = f (g (x)) называется сложной функцией , составленной из функ ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Пример: Функция у =ln( s in x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u и u = s in x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u), где u = g(x)

Внешняя функция Промежуточная функция

При этом аргумент х называют независимой переменной , а u - промежуточным аргументом.

Вернемся к примеру . Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци руема в некоторой точке х 0 , а функция y=f(u) дифференцируема в точке u 0 = g(x 0 ), то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x 0 .

Правило:

Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;

Производную находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример1: Функция у =ln( s in x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия синуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

Функция читается так : логарифмическая функция от тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию: у = ln( s in x)=ln u, u=s in x.

. Будем использовать при дифференцировании дополненную таблицу производных.

Далее получаем ( u) ’ =(s in x) ’ = cosx

У ’ = ’ ==ctg x

Пример2: Найти производную функции h ( x )=(2 x +3) 100 .

Решение: Функцию h можно представить в виде сложной функции h ( x ) = g ( f ( x )), где g ( y )= y 100 , y = f ( x )=2 x +3, так как f I ( x )=2, g I ( y )=100 y 99 , h I ( x )=2*100 y 9 =200(2 x +3) 99 .

5.Закрепление материала:(К доске выходят учащиеся и решают примеры)

№1.Найдите область определения функции.

А) y = ; б) y =;

В); г) у=

№2. Найдите производную функции:

А) (2 x -7) 14

Б) (3+5 x ) 10

В) (7 x -1) 3

Г) (8 x +6) 55

Д)

Е) (7 x -1) 5

№3. Заданы функции f ( x ) = 2- x - x 2 ; g ( x ) = ; p ( x ) = .

Задайте с помощью формул функции:

А) f ( g ( x )) ; б) g ( f ( x )); в) f ( p ( x ))

6. Домашнее задание:

Найти производную функции: а) (5 x -7) 17 ; б) (7 x +6) 14 ; В) y =; г) y =;

Тип урока: – урок изучения нового материала.

Форма урока: применение информационных технологий.

Место урока в системе уроков по данному разделу: первый урок.

• научить распознавать сложные функции, уметь применять правила вычисления производных; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером;
• развивать готовность к информационно-учебной деятельности через применение информационных технологий.
• воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

Оборудование: электронные файлы с печатным материалом, индивидуальные компьютеры.

1. Обучающие цели: научиться распознавать сложные функции, знать правила дифференцирования, уметь применять формулу производной сложной функции при решении задач; совершенствовать предметные, в том числе вычислительные, умения и навыки; навыки работы с компьютером.
2. Развивающие цели: развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.
3. Воспитательные цели: воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

1. Назовите правила вычисления производной.

3. Устная работа.

Найдите производные функций.

а) y = 2x 2 + xі ;

б) f(x) = 3x 2 – 7x + 5;

г) f(x) = 1/2x 2 ;

д) f(x) = (2x – 5)(x + 3).

4. Правила вычисления производных.

Повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением.

Обменяйтесь тетрадями. Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком “–”.

Сложная функция.

Рассмотрим функцию, заданную формулой f(x) =

Для того, чтобы найти производную данной функции, надо сначала вычислить производную внутренней функции u = v(x) = xІ + 7x + 5, а затем вычисляют производную функции g(u) = .

Говорят, что функция f(x) – есть сложная функция, составленная из функций g и v , и пишут:

f(x) = g(v(x)) .

Область определения сложной функции – множество всех тех х из области определения функции v , для которых v(x) входит в область определения функции g.

Формулу читают так: производная y по x равна производной y по u , умноженной на производную u по x .

Формулу записывают ещё так:

f" (x) = g" (u) v" (x).

Доказательство.